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卡爾曼濾波的入門介紹-外文翻譯

1960年,卡爾曼發表了他的著名論文,文章闡述了對離散數據濾波問題的遞歸處理。從那以后,可能是因為數字計算的發展,卡爾曼濾波已成為擴展研究和應用的主題,特別是在自主和輔助導航系統領域。

卡爾曼系統是一套數學方程式,其作用是提供一種估計過程狀態的有效計算(遞歸)方法,在某種程度上最小化平方誤差均值。此濾波在數個方面作用明顯:它能證實過去、現在、甚至將來狀態的估計,在模式的精確狀態處于未知狀態時也能如此。

我們寫這篇文章,其目的在于為離散卡爾曼濾波提供一個實用的入門介紹。這個介紹包括描述和一些討論對基本的離散卡爾曼濾波,一個來源,描述和一些討論擴展卡爾曼濾波, 以及一個相對簡單的(明確)帶有實數和結果的例子。

離散卡爾曼濾波

1960年,卡爾曼發表了他的著名論文,文章闡述了對離散數據濾波問題的遞歸處理。從那以后,可能是因為數字計算的發展,卡爾曼濾波已成為擴展研究和應用的主題,特別是在自主和輔助導航系統領域。

估計過程

卡爾曼濾波處理的是在由線性隨機差分方程控制的離散時間控制過程中,試圖估計狀態xÎÂn的一般性問題。

xk=Axk-1+Buk-1+wk-1                                 (1.1)

用一zÎÂm的測量是;

zk=Hxk+vk                                             (1.2)

自由變量wk和vk分別代表進程和測量噪音。假定他們相互獨立、白色,其正常的概率分布為

p(w)~N(0,Q)                              (1.3)

p(v)~N(0,R)                              . (1.4)

在實踐中,過程噪音協方差Q和測量協方差R矩陣可能會隨著時間步驟和測量而有所變化,但是這里我們假定他們是常量。

在缺少驅動函數和過程噪音的情況下,在差分方程式(1.1)中,n n矩陣A上一時間步驟K-1的狀態與當前步驟k狀態聯系起來。注意,實際上A可能會隨著每一時間步驟而變化,但是我們假定它是常量。n  l矩陣B把任選控制輸入uÎÂl, 和狀態x聯系起來。測量過程(1.2)中,n n矩陣H把狀態和測量zk聯系起來。實際中H可能會隨每次時間步階和測量而變化,但這里我們假定它是常量。

濾波的計算源頭。

考慮到步驟K以前的過程,我們定義xˆ ÎÂn(注意上面的減號)是K步上的一個先前狀態的估計;并且定義xÎÂn是K步上的一個后續狀態的估計?紤]到測量zk,,然后我們定義先前和后續估計誤差為

e =xk-xˆ ,以及

ek=xk-xˆk

然后先前的估計誤差協方差是

P =E[e-ke-Tk], (1.5)

后續估計誤差協方差事是

Pk=E[ekeTk]. (1.6)

在推導卡爾曼濾波方程時,我們首先要找到這樣一個方程式,它能計算出一個后續狀態的估計值xˆk,用先前導出的估計xˆk-和實際測量與測量預測Hxˆk-的加權協方差線性組合起來。如下面(1.7)關于(1.7)的證明將在下面的概率起源中給出.

(1.7)中差分(zk-H xˆ )被叫做測量革新,或稱殘差。殘差反映了預測測量Hxˆ 與實際測量zk的差異。零殘差意味著這兩個測量完全相同。

(1.7)中n  m矩陣K被選作增益或調和因素,以使(1.6)中的后續誤差協方差最小。這個最小值可以通過最初把(1.7)是帶入上面的ek定義中得到,然后把最小值帶入(1.6),運行指示期望值,取出結果的跡關于K的導數,使結果等于零,然后再解出K的值。想了解詳細情況,可參閱[枚百克79; 布茹恩92; 寨克保斯93],使(1.6)最小的K值的一種形式如下

.

從(1.8)看出,測量誤差協方差R越接近零,增益K越加重殘差的權重,特別是

另一方面,先前估計誤差協方差R越接近零,增益K對殘差的權重影響越不明顯。特別是

另外一種考慮K的權重的方法是,當測量誤差協方差R趨近于零時,實際測量zk越來越可信,而預測測量Hxˆ 越來越不可信。另一方面,當先前估計誤差協方差P-k趨近于零時,實際測量zk越來越不可信,而預測測量Hxˆ 則越來越可信。

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